Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.
В 1862 году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке 1 . 10 . 1 . Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.
Рисунок 1 . 10 . 1 . Гравитационные силы притяжения между телами. F 1 → = - F 2 → .
Определение 1
При известных направлениях движений планет Ньютон пытался выяснить, какие силы действуют на них. Этот процесс получил название обратной задачи механики .
Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.
Определение 2Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
F = G m 1 m 2 r 2 .
Значение G определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле G = 6 , 67 · 10 - 11 Н · м 2 / к г 2 (С И) .
Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.
Определение 3
Проявлении силы тяготения характеризуется наличием силы тяжести . Так называется сила притяжения тел к Земле и вблизи ее поверхности.
Когда М обозначается как масса Земли, R З – радиус, m – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:
F = G M R З 2 m = m g .
Где g – ускорение свободного падения, равняющееся g = G M R З 2 .
Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется 9 , 81 м / с 2 . При известном G и радиусе R 3 = 6 , 38 · 10 6 м производятся вычисления массы Земли М по формуле:
M = g R 3 2 G = 5 , 98 · 10 24 к г.
Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния r к центру. Рисунок 1 . 10 . 2 показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что F притягивания его к Земле равняется 700 Н.
Рисунок 1 . 10 . 2 . Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.
Пример 1
Земля-Луна подходит в качестве примера взаимодействия системы двух тел.
Расстояние до Луны – r Л = 3 , 84 · 10 6 м. Оно в 60 раз больше радиуса Земли R З. Значит, при наличии земного притяжения, ускорение свободного падения α Л орбиты Луны составит α Л = g R З r Л 2 = 9 , 81 м / с 2 60 2 = 0 , 0027 м / с 2 .
Оно направлено к центру Земли и получило название центростремительного. Расчет производится по формуле a Л = υ 2 r Л = 4 π 2 r Л T 2 = 0 , 0027 м / с 2 , где Т = 27 , 3 суток – период обращения Луны вокруг Земли. Результаты и расчеты, выполненные разными способами, говорят о том, что Ньютон был прав в своем предположении единой природы силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.
Луна имеет собственное гравитационное поле, которое определяет ускорение свободного падения g Л на поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус в 3 , 7 раза. Отсюда видно, что ускорение g Л следует определять из выражения:
g Л = G M Л R Л 2 = G M З 3 , 7 2 T 3 2 = 0 , 17 g = 1 , 66 м / с 2 .
Такая слабая гравитация характерна для космонавтов, находящихся на Луне. Поэтому можно совершать огромные прыжки и шаги. Прыжок вверх на метр на Земле соответствует семиметровому на Луне.
Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли. Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости. Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу R З. Они летают на высотах 200 - 300 к м.
Определение 4
Отсюда следует, что центростремительное ускорение спутника, которое сообщается силами тяготения, равняется ускорению свободного падения g . Скорость спутника примет обозначение υ 1 . Ее называют первой космической скоростью .
Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем
a n = υ 1 2 R З = g , υ 1 = g R З = 7 , 91 · 10 3 м / с.
При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 м и н 12 с.
Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.
Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.
Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:
υ 2 к = g R 3 2 r 2 , υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r .
Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:
T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR з υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.
T 1 принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. Т возрастает с размерами радиуса орбиты. Если r имеет значение 6 , 6 R 3 то Т спутника равняется 24 часам. При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи. Орбиту, имеющую радиус r = 6 , 6 R З, называют геостационарной.
Рисунок 1 . 10 . 3 . Модель движения спутников.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
По второму закону Ньютона предпосылкой конфигурации движения, другими словами предпосылкой ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения . Закон глобального тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его догадке меж всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по полосы, соединяющей центры масс (рис. 1.10.1). У тела в виде однородного шара центр тяжести совпадает с центром шара.
В следующие годы Ньютон пробовал отыскать физическое разъяснение законам движения планет , открытых астрологом И. Кеплером сначала XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планетки, Ньютон желал найти, какие силы на их действуют. Таковой путь носит заглавие оборотной задачки механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в хоть какой момент времени по известным силам, действующим на тело, и данным исходным условиям (ровная задачка механики) , то при решении оборотной задачки нужно найти действующие на тело силы, если понятно, как оно движется. Решение этой задачки и привело Ньютона к открытию закона глобального тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и назад пропорциональной квадрату расстояния меж ними:
Коэффициент пропорциональности G схож для всех тел в природе. Его именуют гравитационной неизменной
Многие явления в природе объясняются действием сил глобального тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, линии движения полета баллистических ракет, движение тел поблизости поверхности Земли - все эти явления находят разъяснение на базе закона глобального тяготения и законов динамики. Одним из проявлений силы глобального тяготения является сила тяжести . Так принято именовать силу притяжения тел к Земле поблизости ее поверхности. Если M - масса Земли, RЗ - ее радиус, m - масса данного тела, то сила тяжести равна
где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли:
Сила тяжести ориентирована к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для разных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли M:
При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения меняются назад пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рис. 1.10.2 иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на астронавта в галлактическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой астронавт притягивается к Земле поблизости ее поверхности, принята равной 700 Н.
Примером системы 2-ух взаимодействующих тел может служить система Земля-Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние примерно в 60 раз превосходит радиус Земли RЗ. Как следует, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет
С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Как следует, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно высчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения (см. §1.6):
где T = 27,3 сут - период воззвания Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных различными методами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести. Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Потому ускорение gЛ обусловится выражением:
В критериях таковой слабенькой гравитации оказались астронавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких критериях может совершать огромные прыжки. К примеру, если человек в земных критериях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подскочить на высоту более 6 м. Разглядим сейчас вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на их действуют только силы тяготения со стороны Земли. Зависимо от исходной скорости линия движения галлактического тела может быть различной (см. §1.24). Мы разглядим тут только случай движения искусственного спутника по радиальный околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200-300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, примерно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1. Эту скорость именуют первой галлактической скоростью . Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения (см. §1.6), получим:
Двигаясь с таковой скоростью, спутник облетал бы Землю за время По сути период воззвания спутника по радиальный орбите поблизости поверхности Земли несколько превосходит обозначенное значение из-за отличия меж радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение , схожее движению снарядов либо баллистических ракет. Различие заключается исключительно в том, что скорость спутника так велика, что радиус кривизны его линии движения равен радиусу Земли. Для спутников, передвигающихся по радиальным траекториям на значимом удалении от Земли, земное притяжение слабеет назад пропорционально квадрату радиуса r линии движения. Скорость спутника υ находится из условия
Таким макаром, на больших орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите. Период T воззвания такового спутника равен
Тут T1 - период воззвания спутника на околоземной орбите. Период воззвания спутника вырастает с повышением радиуса орбиты. Несложно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном примерно 6,6RЗ, период воззвания спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом воззвания, запущенный в плоскости экватора, будет бездвижно висеть над некой точкой земной поверхности. Такие спутники употребляются в системах галлактической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6R3 именуется геостационарной .
(термины гравитация и тяготение равнозначны).
Ускорение, к-рое испытывает тело m
2 , находящееся
на расстоянии r
от данного тела m
1 , равно:
.
Эта величина не зависит от природы (состава) и массы тела, получающего ускорение.
В этом соотношении выражается экспериментальный факт, известный еще Галилаю, согласно
к-рому
все тела падают в гравитац. поле Земли с одинаковым ускорением.
Ньютон установил, что ускорение и сила обратно пропорциональны , сопоставив ускорение тел, падающих вблизи поверхности Земли, с ускорением, с к-рым движется Луна по своей орбите. (Радиус Земли приблизительное расстояние до Луны были к тому времени известны.) Далее было показано, что из закона всемирного тяготения следуют законы Кеплера, к-рые были найдены И. Кеплером путем обработки многочисленных наблюдений за движениями планет. Так возникла небесная механика. Блестящим подтверждением ньютоновской теории Т. было предсказание существования планеты за Ураном (англ. астроном Дж. Адамс, франц. астроном У. Леверье, 1843-45 гг.) и открытие этой планеты, к-рую назвали Нептун (нем. астроном И. Галле, 1846 г.).
В ф-лы, описывающие движение планет, входит произведение G и массы Солнца , оно известно с большой точностью. Для определения же константы G требуются лабораторные опыты по измерению силы гравитац. взаимодействия двух тел с известной массой. Первый такой опыт был поставлен англ. ученым Г. Кавендишем (1798 г.). Зная G , удается определить абс. значение массы Солнца, Земли и др.небесных тел.
Закон тяготения в форме (1) непосредственно применим к точечным телам. Можно показать, что он справедлив и дял протяженных тел со сферически-симметричным распределением массы, причем r есть расстояние между центрами симмтерии тел. Для сферич. тел, расположенных достаточно далеко друг от друга, закон (1) справедлив приближенно.
В ходе развития теории Т. представление о непосредственном силовом взаимодействии
тел постепенно уступило место представлению о поле. Гравитац. поле в теории Ньютона
характеризуется
потенциалом , где x,y,z
- координаты, t
- время, а также напряженностью поля , т.е.
.
Потенциал гравитац. поля, создаваемого совокупностью покоящихся масс, не зависит
от времени. Гравитац. потенциалы неск. тел удовлетворяют принципы суперпозиции, т.е.
потенциал
к.-л. точке их общего поля равен сумме потенциалов рассматриваемых тел.
Предполагается, что гравитац. поле описывается в инерциальной системе координат, т.е. в системе координат, относительно к-рой тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют никакие силы. В гравитац. поле сила, действующая на частицу вещества, равна произведению ее массы на напряженность поля в месте нахождения частицы: F =mg . Ускорение частицы относительно инерциальной системы координат (т.н. абс. ускорение) есть, очевидно, g .
Точечное тело с массой dm
создает гравитац. потенциал
.
Сплошная среда, распределенная в пространстве с плотностью
( может зависеть и от времени), создает гравитац. потенциал, равный
сумме
потенциалов всех элементов среды. В этом случае напряженность поля выражается как
векторная сумма напряженностей, создаваемых всеми частицами.
Гравитац. потенциал подчиняется ур-нию Пуассона:
. (2)
Ясно, что потенциал изолированного сферически-симметричного тела зависит только от r . Вне такого тела потенциал совпадает с потенциалом точечного тела, расположенного в центре симметрии и имеющего ту же массу m . Если при r>R , то при r>R . Тем самым обосновывается приближение материальных точек в небесной механике, где обычно имеют дело с почти сферич. телами, находящимися, к тому же, достаточно далеко друг от друга. Точное ур-ние Пуассноа с учетом реального, несимметричного распределения масс используется, напр., при изучении строения Земли методами гравиметрии. Закон Т. в форме ур-ния Пуассона применяется при теоретич. исследовании строения звезд. В звездах сила Т., изменяющаяся от точки к точке, уравновешивается градиентом давления; во вращающихся звездах к градиенту давления добавляется центробежная сила.
Отметим нек-рые принципиальные особенности классич. теории Т.
1) В ур-нии движения материального тела - второй закон механики Ньютона, m
a
=F
(где F
- действующая сила, a
- приобретаемое телом ускорение),
и в закон тяготения Ньютона входит одна и та же характеристика тела - его масса.
Тем самым подразумевается, что инертная масса тела и его гравитац. масса равны (подробнее
см. в разделе 3).
2) Мгновенное значение гравитац. потенциала полностью определяется мгновенным распределением масс во всем пространстве и предельными условиями для потенциала на бесконечности. Для ограниченных рапределений вещества принимают условие обращения в ноль на бесконечности (при ). Добавление к потенциалу постоянного слагаемого нарушает условие на бесконечности, но не изменяет напряженность поля g и не изменяет ур-ния движения материальных тел в данном поле.
3) Переход в соответствии с преобразованиями Галилея (x"=x-vt, t"=t ) от одной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью v , не изменяет ур-ние Пуассона и не изменяет ур-ния движения материальных тел. Другими словами, механика, включая ньютоновскую теорию Т., инвариантна относительно преобразований Галилея.
4) Переход от инерциальной системы координат к ускорению движущейся с ускорением a (t) (без вращения) не изменяет ур-ние Пуассона, но приводит к появлению дополнительного, не зависящего от координат члена m a в ур-ниях движения. Точно такой же челн в ур-ниях движения возникает, если в инерциальной системе координат к гравитац. потенциалу добавить слагаемое, линейно зависящее от координат, , т.е. добавить однородное поле Т. Т.о., однородное поле Т. может быть скомпенсировано в условиях ускоренного движения.
Важнейшей задачей ньютоновской небесной механики явл. задача движения двух точечных
материальных тел, взаимодействующих гравитационно. Для ее решения, используя закон
тяготения
Ньютона, составляют ур-ния движения тел. Св-ва решений этих ур-ний известны с исчерпывающей
полнотой. По известному решению можно установить, что нек-рые величины, характеризующие
систему, остаются постоянными во времени. Их называют интегралами движения. Осн.
интегралами движения (сохраняющимися величинами) явл. энергия, импульс, момент импульса
системы.
Для системы двух тел полная механич. энергия E
, равная сумме кинетич. энергии
(T
) и потенциальной энергии (U
), сохраняется:
E=T+U
=const ,
где кинетич. энергия двух тел .
В классич. небесной механике потенциальная энергия обусловлена гравитац. взаимодействием
тел. Для пары тел гравитационная (потенциальная) энергия равна:
,
где - гравитац. потенциал, создаваемый массой m
2
в точке нахождения массы m
1 , а
- потенциал, создаваемый массой m
1 в точке нахождения
массы m
2 . Нулевым значением U
обладают тела,
разнесенные на бесконечно большое расстояние. Поскольку при сближении тел их кинетич.
энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается, то, следовательно, знак
U
отрицательный.
Для стационарных гравитирующих систем ср. значение абс. величины гравитац. энергии в два раза больше ср. значения кинетич. энергии частиц, составляющих систему (см. ). Так, напр., для малой массы m , вращающейся по круговой орбите вокруг центрального тела , условие равенства центробежной силы mv 2 /r силе тяготения приводит к , т.е. кинетич. энергия , тогда как . Следовательно, U =-2T и E=U+T=-T= const
В ньютоновской теории Т. изменение положения частицы мгновенно приводит к изменению поля во всем пространстве (гравитац. взаимодействие осуществляется с бесконечной скоростью). Другими словами, в классич. теории Т. поле служит целям описания мгновенного взаимодействия на расстоянии, оно не обладает собст. степенями свободы, не может распространяться и излучаться. Ясно, что такое представление о гравитац. поле справеливо лишь приближенно при достаточно медленных движениях источников. Учет конечной скорости распространения гравитац. взаимодействия производится в релятисвистской теории Т. (см. ниже).
В нерелятивистской теории Т. полная механическая энергия системы тел (включающая энергию гравитац. взаимодействия) должна оставаться неизменной бесконечно долго. Теория Ньютона допускает систематич. уменьшение этой энергии только при наличии диссипации, связанной с превращением части энергии в теплоту, напр. при неупругих столкновениях тел. Если тела вязкие, то их деформации и колебания при движении в гравитац. поле также уменьшают энергию системы тел за счет превращения энергии в теплоту.
Инертной массой тела (m i ) называют величину, характеризующую его способность приобретать то или иное ускорение под действием заданной силы. Инертная масса входит во второй закон механики Ньютона. Гравитац. масса (m g ) характеризует способность тела создавать то или иное поле Т. Гравитаци. масса входит в закон Т.
Из опытов Галилея с той точностью, с к-рой они были поставлены, следовало, что все тела падают с одинаковым ускорением, вне зависимости от их природы и инертной массы. Это означает, что сила, с к-рой действует Земля на эти тела, зависит только от их инертной массы, причем сила пропорциональна инертной массе рассматриваемого тела. Но по третьему закону Ньютона изучаемое тело действует на Землю точно с такой же силой, с какой Земля действует на тело. Следовательно, создаваемая падающим телом сила зависит только от одной из его характеристик - инертной массы - и пропорциональна ей. В то же время падающее тело действует на Землю с силой, определяемой гравитац. массой тела. Т.о., для всех тел гравитац. масса пропорциональна инертной. Считая m i и m g просто совпадающими, находят из экспериментов конкретное численное значение постоянной G .
Пропорциональность инертной и гравитац. масс у тел различной природы была предметом исследования в опытах венг. физика Р. Этвеша (1922 г.), амер. физика Р. Дикке (1964 г.) и советского физика В.Б. Брагинского (1971 г.). Она проверена в лаборатории с высокой точностью (с погрешностью
Высокая точность этих экспериментов позволяет оценить влияние на массу различных видов энергии связи между частицами тела (см. ). Пропорциональность инертной и гравитац. масс означает, что физ. взаимодействия внутри тела одинаковым образом участвуют в создании его инертной и гравитац. масс.
Относительно системы координат, движущейся с ускорением a , все свободные тела приобретают одинаковое ускорение -a . Из-за равенства инертной и гравитац. массвсе они приобретают такое же ускорение относительно инерциальной системы координат под воздействием гравитац. поля с напряженностью g =-a . Именно поэтому можно сказать, что с точки зрения законов механики однородное гравитац. поле неотличимо от поля ускорений. В неоднородном гравитац. поле компенсация напряженности поля ускорением сразу во всемпространстве невозможна. Однако напрженность поля может быть скомпенсирована ускорением специально подобранной системы координат вдоль всей траектории тела, свободно движущегося под действием сил Т. Такая система координат наз. свободно падающей. В ней имеет место явление невесомости.
Движение космич. корабля (ИСЗ) в поле Т. Земли можно рассматривать как движение падающей системы координат. Ускорение космонавтов и всех предметов на корабле относительно Земли одинаково и равно ускорению свободного падения, а относительно друг друга практически равно нулю, поэтому они находятся в невесомости.
При свободном падении в неоднородном гравитац. полекомпенсация напряженности поля ускорением не может быть повсеместной, поскольку ускорение соседних свободно падающих частиц не совсем одинаково, т.е. частицы обладают относительным ускорением. В космич. корабле относительные ускорения практически незаметны, поскольку по порядку величины они составляют см/с 2 , где r - расстояние от корабля до центра Земли, - масса Земли, x - размер корабля. Этими ускорениями можно пренебречь и ситать гравитац. поле Земли на расстоянии r от ее центра однородным в объеме с характерным размером x . В любом заданном объеме пространства неоднородность гравитац. поля может быть установлена наблюдениями достаточно высокой точности, но при любой заданной точности наблюдений можно указать объем пространства, в к-ром поле будет выглядеть однородным.
Относительные ускорения проявляют себя, напр., на Земле в виде океанских приливов. Сила, с к-рой Луна притягивает Землю, различна в разных точках Земли. Ближайшие к Луне части водной поверхности притягиваются сильнее, чем центр тяжести Земли, а он, в свою очередь, - сильнее, чем наиболее удаленные части мирового океана. Вдоль линии, соединяющей Луну и Землю, относительные ускорения направлены от центра Земли, а в ортогональных направлениях - к центру. В результате водная оболочка Земли деформируется так, что она вытягивается в виде эллипсоида вдоль линии Земля-Луна. Из-за вращения Земли приливные горбы дважды в сутки прокатываются по поверхности океана. Аналогичная, но меньшая приливная деформация вызывается неоднородностью гравитац. поля Солнца.
А. Эйнштейн, исходя из эквивалентности однородных полей Т. и ускоренных систем координат в механике, предположил, что такая эквивалентность распространяется вообще на все без исключения физ. явления. Этот постулат называют принципом эквивалентности: все физические процессы протекают совершенно одинаково (при одинаковых условиях) в инерциальной системе отсчета, находящейся в однородном гравитационном поле, и в системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением при отсутствии гравитац. поля. Принцип эквивалентности сыграл важную роль при построении эйнштейновской теории Т.
Изучение эл.-магн. явлений М. Фарадеем и Д. Максвеллом во второй половине 19 в. привело к созданию теории эл.-магн. поля. Выводы этой теории были подтверждены экспериментально. Ур-ния Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея, но инвариантны относительно преобразований Лоренца, т.е. законы электромагнетизма одинако формулируются во всех инерциальных системах координат, связанных преобразованиями Лоренца.
Если инерциальная система координат x", y", z", t"
движется относительно инерциальной
системы координат x, y, z, t
с постоянной скоростью v
в направлении
оси x
, то преобразования Лоренца имеют вид:
y"=y, z"=z
, .
При малых скоростях () и в пренебрежении членами (v/c
) 2
и vx/c
2 эти преобразования переходят
в преобразования Галилея.
Логич. анализ противоречий, возникавших при сопоставлении выводов теории эл.-магн.
явлений с классич. представлениями о пространстве и времени, привел к построению
частной
(специальной) теории относительности. Решающий шаг был сделан А. Эйнштейном (1905
г.), огромную роль в ее построении сыграли труды нидерландского физика Г. Лоренца
и франц.
математика А. Пуанкаре. Частная теория относительности требует пересмотра классических
представлений о пространстве и времени. В классич. физике промежуток времени между
двумя
событиями (напр., между двумя вспышками света), а также понятие одновременности событий
имеют абсолютный смысл. Они не зависят от движения наблюдателя. В частной теории
относительности
это не так: суждения об интервалах времени между событиями и об отрезках длины зависят
от движения наблюдателя (связанной с ним системы координат). Эти величины оказываются
относительными примерно в том же смысле, в каком относительными, зависящими от расположения
наблюдателей, явл. их суждения об угле, под к-рым они видят одну и ту же пару предметов.
Инвариантным, абсолютным, не зависящим от системы координат, явл. только 4-мерный
интервал ds
между событиями, включающий как промежуток времени dt
,
так и элемент
расстояния между ними:
ds
2 =c
2 dt
2 -dx
2 -dy
2 -dz
2
. (3)
Переход от одной инерциальной системы к другой, сохраняющий ds
2
неизменным, осуществляется как раз в соответствии с преобразованиями Лоренца.
Инвариантность ds
2 означает, что пространство и
время объединяются в единый 4-мерный мир - пространство-время. Выражение (3) можно
записать
также в виде:
, (4)
где индексы и пробегают значения 0, 1, 2, 3 и по
ним производится суммирование, x
0 =ct
, x
1 =x
,
x
2 =y
, x
3 =z
,
, остальные величины
равны нулю. Набор величин называют метрическим
тензором плоского пространства-времени или мира Минковского [в общей теории относительности
(ОТО) было показано, что пространство-время обладает кривизной, см. ниже].
В термине "метрич тензор" слово "метрический" указывает на роль этих величин при определении расстояний и промежутков времени. В общем случае метрич. тензор представляет собой совокупность десяти функций, зависящих от x 0 , x 1 , x 2 , x 3 в выбранной системе координат. Метрич. тензор (или просто метрика) позволяет определить расстояние и промежуток времени между событиями, отстоящими на .
Спец. теория относительности устанавливает предельную скорость движения материальных тел и вообще распространения взаимодействий. Эта скорость совпадает со скоростью света в вакууме. Вместе с изменением представлений о пространстве и времени спец. теория относительности уточнила понятие массы, импульса, силы. В релятивистской механике, т.е. в механике, инвариантной относительно преобразований Лоренца, инертная масса тела зависит от скорости: , где m 0 - тела. Энергия тела и его импульс объединяются в 4-компонентный вектор энергии-импульса. Для сплошной среды можно ввести плотность энергии, плотность импульса и плотность потока импульса. Эти величины объединяются в 10-компонентную величину - тензор энергии-импульса . Все компоненты подвергаются совместному преобразованию при переходе от одной системы координат к другой. Релятивистская теория эл.-магн. поля (электродинамика) значительно богаче электростатики, справедливой лишь в пределе медленных движений зарядов. В электродинамике происходит объединение электрич. и магнитного полей. Учет конечной скорости распространения изменений поля и запаздывания в передаче взаимодействия приводит к понятию эл.-магн. волн, к-рые уносят энергию из излучаещей системы.
Аналогично релятивистская теория Т. оказалась сложнее ньютоновской. Гравитац. поле движущегося тела обладает рядом св-в, подобных св-вам эл.-магн. поля движущегося заряженного тела в электродинамике. Гравитац. поле на большом расстоянии от тел зависит от положения и движения тел в прошлом, поскольку гравитац. поле распространяется с конечной скоростью. Становится возможным излучение и распространение гравитац. волн (см. ). Релятивистская теория Т., как и можно было предполагать, оказалась нелинейной.
Согласно принципу эквивалентности, никакими наблюдениями, используя любые законы природы, нельзя отличить ускорение, создаваемого однородным полем Т., от ускорения движущейся системы координат. В однородном гравитац. поле можно добиться равенства нулю ускорения всех частиц, помещенных в данную область пространства, если рассматривать их в системе координат, свободно падающей вместе с частицами. Такую систему координат представляют мысленно в виде лаборатории с жесткими стенками и находящимися в ней часами. Иначе обстоит дело в неоднородном гравитац. поле, в к-ром соседние свободные частицы обладают относительными ускорениями. Они будут двигаться с ускорением, пусть и небольшим, относительно центра лаборатории (системы координат), и такую систему координат следует признать лишь локально инерциальной. Считать систему координат инерциальной можно только в той области, где допустимо пренебречь относительными ускорениями частиц. Следовательно, в неоднородном гравитац. поле лишь в малой области пространства-времени и с ограниченной точностью можно рассматривать пространство-время как плоское и пользоваться ф-лой (3) для определения интервала между событиями.
Невозможность ввести инерциальную систему координат в неоднородном гравитац. поле делает все мыслимые системы координат более или менее равноправными. Ур-ния гравитац. поля должны быть записаны так, чтобы они были справедливы во всех координатных системах, не отдавая предпочтения к.-л. из них. Отсюда и название для релятивистской теории Т. - общая теория относительности.
Гравитац. поля, содаваемые реальными телами, такими, как Солнце или Земля, всегда неоднородны. Их называют истинными или неустранимыми полями. В таком гравитац. поле никакая локально-инерциальная система координат не может быть распространена на все пространство-время. Это означает, что интервал ds 2 не может быть приведен к виду (3) во всем пространственно-временном континууме, т.е. пространство-время не может быть плоским. Эйнштейн пришел к радикальной идее отождествить неоднородные гравитац. поля с кривизной пространства-времени. С этих позиций гравитац. поле любого тела можно рассматривать как искажение этим телом геометрии пространства-времени.
Основы математич. аппарата геометрии пространства, обладающего кривизной (неевклидовой
геометрии), были заложены в трудах Н.И. Лобачевского, венг. математика Я. Бойаи,
нем.
математиков К. Гаусса и Г. Римана. В неевклидовой геометрии искривленное пространство-время
характеризуется метрич. тензором , входящим в выражение
для инвариантного интервала:
, (5)
частным случаем этого выражения явл. ф-ла (4). Имея набор ф-ций ,
можно постановить вопрос о существовании таких координатных преобразований, к-рые
перевели бы (5) в (3), т.е. позволили бы проверить, не является ли пространство-время
плоским. Искомые преобразвоания осуществимы тогда, и только тогда, когда нек-рый
тензор,
составленный из ф-ций , квадратов их первых производных и
вторых производных, равен нулю. Этот тензор называют тензором кривизны
. В общем случае он, естественно, не равен нулю.
Набор величин используют для инвариантного, не зависящего от выбора системы координат, описания геометрич. св-в искривленного пространства-времени. С физ. точки зрения тензор кривизны, выражаясь через вторые производные от гравитац. потенциалов , описывает приливные ускорения в неоднородном гравитац. поле.
Тензор кривизны - величина размерная, его размерность - квадрат обратной длины. Кривизне в каждой точке пространства-времени соответствуют характерные длины - радиусы кривизны . В малой пространственно-временной области, окружающей данную точку, искривленное пространство-время неотличимо от плоского сточностью до малых членов , где l - характерный размер области. В этом смысле кривизна мира обладает теми же св-вами, что, скажем, и кривизна земного шара: в малых областях она несущественна. Тензор кривизны в данной точке нельзя "уничтожить" никакими преобразованиями координат. Однако в определенной системе координат и с заранее известной точностью поле Т. в малой области пространства-времени можно считать отсутствующим. В этой области все законы физики приобретают ту форму, к-рая согласуется со спец. теорией относительности. Так проявляет себя принцип эквивалентности, положенный в основу теории Т. при ее построении.
Метрич. тензор пространства-времени,и в частности кривизна мира, доступны экспериментальному определению. Чтобы доказать кривизну земного шара, надо располагать маленьким "идеальным" масштабом и с его помощью измерить расстояние между достаточно удаленными точками поверхности. Сопоставление измеренных расстояний укажет на отличие реальной геометрии от евклидовой. Подобным же образом геометрия пространства-времени может быть установлена путем измерений, выполняемых с помощью "идеальных" линеек и часов. Естественно предположить, вслед за Эйнштейном, что св-ва маленького "идеального" атома не зависят от того, в какую точку мира он помещен. Поэтому, произведя, напр., измерение сдвига частоты света (определив гравитац. красное смещение), можно в принципе определить метрич. тензор пространства-времени и его кривизну.
Путем суммирования тензора кривизны с метрич.
тензором можно образовать симметричный тензор 
, имеющий столько же компонентов, сколько и тензор энергии импульса
материи, к-рая служит источником гравитац. поля.
Эйнштейн предположил, что ур-ния гравитации должны устанавливать связь между
и . Кроме того, он учел, что в гравитац. поле
должны выполняться ур-ния непрерывности для материи аналогично тому, как выполняется
ур-ние непрерывности тока в электродинамике. Такие ур-ния выполняются автоматически,
если
ур-ния гравитац. поля написать так:
. (6)
Это и есть ур-ния Эйнштейна, полученные им в 1916 г. Эти ур-ния вытекают также из
вариац. принципа, что независимо показал нем. математик Д. Гильберт.
Ур-ния Эйнштейна выражают связь между распределением и движением материи, с одной стороны, и геометрич. св-вами пространства-времени - с другой.
В ур-ниях (6) в левой части стоят компоненты тензора , описывающего геометрию пространства-времени, а в правой - компоненты тензора энергии-импульса , описывающего физ. св-ва вещества и полей (источников гравитац. поля). Величины - не просто ф-ции, описывающие гравитационное поле, но вместе с тем - компоненты метрического тензора пространства-времени.
Эйнштейн писал, что б"ольшая часть его работ (спец. теория относительности, квантовая природа света) шла в русле актуальных проблем своего времени. Они были бы сделаны др. учеными с опозданием не более 2-3 лет, если бы эти работы не сделал он сам. Для ОТО Эйнштейн делал исключение и писал, что релятивистская теория Т., возможно, задержалась бы на 50 лет. Этот прогноз, по существу, оправдался, т.к. именно в 60-х гг. 20 в. появились новые общие методы теории поля и возник др. подход к нелинейной теории Т., исходящий из понятия поля, заданного в плоском пространстве-времени. Было показано, что такой путь приводит к тем же ур-ниям, к к-рым пришел Эйнштейн на основе геометрич. интерпретации Т.
Слеудет подчеркнуть, что именно в астрономии и космологии встречаются вопросы, в к-рых геометрич. подход явл. предпочтительным. В качестве примера можно указать космологич. теорию пространственно-замкнутой Вселенной, а также теорию . Поэтому теория Эйнштейна, опирающаяся на геометрич. понятия, полностью сохраняет свое значение.
В геометрич. интерпретации движение материальной точки в гравитац. поле представляет собой движение по 4-мерной траектории - геодезич. линии пространства-времени. В мире, обладающем кривизной, геодезич. линия обобщает понятие прямой линии в евклидовой геометрии. Ур-ния движения вещества, содержащиеся в ур-ниях Эйнштейна, сводятся к ур-ниям геодезич. линий для точечных тел. Тела (частицы), к-рые нельзя считать точечными, отклоняются в своем движении от геодезич. линий и испытывают действие приливных сил.
В приближении слабого поля из ур-ний ОТО вытекают законы ньютоновской теории тяготения и механики. Эффекты ОТО в таких условиях представляют собой лишь незначительные поправки.
Простейшим эффектом, хотя и трудным для наблюдений, явл. замедление течения времени в гравитац. поле, или, в более распространенной формулировке, эффект сдвигачастоты света. Если световой сигнал счастотой испущен в точке со значением гравитац. потенциала и принят с частотой в точке со значением потенциала (где есть точно такой же изулчатель для сравнения частоты), то должно выполняться равенство . Эффект гравитац. смещения частоты света был предсказан Эйнштейном еще в 1911 г. на основании закона сохранения энергии фотона в гравитац. поле. Он надежно установлен в спектрах звезд, измерен с точностью до 1% в лаборатории и с точностью до в условиях космич. полета. В наиболее точном эксперименте использовался водородно-мазерный стандарт частоты, к-рый бвл установлен на космич. ракете, поднявшейся до высоты 10 тыс. км. Другой такой же стандарт был установлен на Земле. Сравнение их частот производилось на разных высотах. Результаты подтвердили предсказываемое изменение частоты.
При прохождении вблизи тяготеющего тела эл.-магн. сигнал испытывает релятивистскую задержку во времени распространения. По своей физ. природе этот эффект подобен предыдущему. По радионаблюдениям планет и особенно межпланетных космич. кораблей, эффект задержки совпадает с расчетным значением в пределах 0,1% (см. ).
Наиболее важным с точки зрения проверки ОТО явл. поворот орбиты тела, обращающегося
вокруг тяготеющего центра (его называют также эффектом сдвига перигелия). Этот эффект
позволяет
выявить нелинейный характер релятивистского граивтац. поля. Согласно ньютоновской
небесной механике, движение планет вокруг Солнца описывается ур-нием эллипса:
, где p=a
(1-e
2)
- параметр орбиты, a
- большая полуось, e
- эксцентриситет (см.
). С учетом релятивистских
поправок траектория имеет вид:
.
За каждый оборот планеты вокруг Солнца большая ось ее эллиптич. орбиты поворачивается
в направлении движения на угол
. Для Меркурия релятивистский угол поворота составляет
в столетие. Тот факт, что угол поворота накапливается с течением времени, облегчает
возможность
наблюдения этого эффекта. За один оборот угол поворота большой оси орбиты столь
незначителен ~ 0,1", что его обнаружение существенно усложняется искривлением лучей
света
в пределах Солнечной системы. Тем не менее совр. радиолокационные данные подтверждают
релятивистский эффект сдвига перигелия Меркурия с точностью
1%.
Перечисленные эффекты наз. классическими. Возможна проверка и других предсказаний ОТО (напр., прецессии оси гироскопа) в слабом гравитац. поле Солнечной системы. Релятивистские эффекты используются не только для проверки теории, но и для уточнения астрофизических параметров, напр., для определения массы компонентов двойных звезд. Так, в двойной системе, включающей пульсар PSR 1913+16, наблюдается эффект сдвига перигелия, что позволило определить суммарную массу компонентов системы с точностью 1%.
Уравнения Эйнштейна включают классическое гравитац. поле, характеризуемое компонентами метрич. тензора , и ензор энергии-импульса материи . Для описания движения тяготеющих тел квантовая природа материи, как правило, не важна. Это происходит потому, что обычно имеют дело с гравитац. взаимодействием макроскопич. тел, состоящих огромного числа атомов и молекул. Квантовомеханическое описание движения таких тел практически неотличимо от классическог. Наука пока еще не обладает экспериментальными данными о гравитац. взаимодействии в условиях, когда становятся существенными квантовые св-ва частиц, взаимодействующих с гравитац. полем, и квантовые св-ва самого гравитац. поля.
Квантовые процессы с участием гравитац. поля ьезусловно важны в космосе (см. , ) и, возможно, станут доступными изучению также в лабораторных условиях. Объединение теории Т. с квантовой теорией - одна из важнейших задач физики, к решению к-рой уже приступили.
В обычных условиях влияние гравитац. поля на квантовые системы чрезвычайно мало.
Чтобы возбудить атом внеш. гравитац. полем, относительное ускорение, создаваемое
гравитац.
полем на расстоянии "радиуса атома водорода" см и равное
, должно было бы быть сравнимо с ускорением,
с к-рым движется электрон в атоме, . (Здесь - радиус кривизны гравитац. поля Земли, равный: 
см.) В гравитац. поле Земли
с запасом в 10 19 это соотношение не выполняется, следовательно
атомы в земных условиях под действием гравитации не возбуждаются и не испытывают
сдвигов энергетич. уровней.
Тем не менее в нек-рых условиях вероятность переходов в квантовой системе под действием гравитац. поля может быть заметной. Именно на этом принципе основаны нек-рые совр. предположения по детектированию гравитац. волн.
В специально созданных (макроскопических) квантовых системах переход между соседними квантовыми уровнями может произойти даже под воздействием весьма слабого переменного поля гравитац. волны. Примером такой системы может служить эл.-магн. поле в полости с хорошо отражающими стенками. Если первоначально в системе было N квантов поля (фотонов) (), то под воздействием гравитац. волны их число с заметной вероятностью может измениться и стать равным N +2 или N -2. Другими словами, возможны переходы сэнергетич. уровня , и они в принципе доступны обнаружению.
Особенно важна роль интенсивных гравитац. полей. Такие поля, вероятно, существовали в начале расширения Вселенной, вблизи космологич. сингулярности и могут возникать на позних стадиях гравитац. коллапса. Высокая интенсивность этих полей проявляется в том, что они способны проводить к наблюдаемым эффектам (рождению пар частиц) даже в отсутствие атомов, реальных частиц или фотонов. Эти поля оказывают эффективное воздействие на физ. вакуум - физ. поля в низшем энергетическом состоянии. В вакууме, благодаря флуктуациям квантованных полей, постоянно возникают и исчезают т.н. виртуальные, реально ненаблюдаемые частицы. Если интенсивность внеш. гравитац. поля столь велика, что на расстояниях, характерных для квантовых полей и частиц, оно способно производить работу, превосходящую энергию пары частиц, то в результате может произойти рождение пары частиц - превращение их из виртуальной пары в реальную. Необходимым условием этого процесса должна быть сравнимость характерного радиуса кривизны , описывающего интенсивность гравитац. поля, с комптоновской длиной волны , сопоставляемой частицам с массой покоя m . Аналогичное условие должно выполняться для безмассовых частиц с тем, чтобы был возможен процесс рождения пары квантов с энергией . В упомянутом выше примере полости, содержащей эл.-магн. поле, этот процесс аналогичен переходу с вероятностью, сравнимой с единицей, из вакуумного состояния N =0 в состояние, описывающее два кванта, N=2 . В обычных гравитац. полях вероятность таких процессов ничтожно мала. Однако в космосе они могли приводить к рождению частиц в очень ранней Вселенной, а также к т.н. квантовому "испарению" черных дыр малой массы (согласно) работам англ. ученого С. Хокинга).
Интенсивные гравитац. поля, способные существенно влиять на нулевый флуктуации др. физ. полей, должны столь же эффективно воздействовать и на собственные нулевые флуктуации. Если возможен процесс рождения квантов физ. полей, то с той же вероятностью (а в нек-рых случаях с еще большей вероятностью) должен быть возможен процесс рождения квантов самого гравитац. поля - гравионов. Строгое и исчерпывающее рассмотрение таких процессов возможно лишь на основе квантовой теории Т. Такая теория еще не создана. Применение к гравитац. полю тех же идей и методов, к-рые привели к успешному построению квантовой электродинамики, наталкивается на серьезные трудности. Сейчас еще не ясно, какими путями пойдет развитие квантовой теории Т. Несомненно одно - важнейшим способом проверки таких теорий будет поиск предсказываемых теорией явлений в космосе.
Движение тела под действием силы тяжести является одной из центральных тем в динамической физике. О том, что раздел динамики базируется на трех знает даже обычный школьник. Давайте постараемся разобрать эту тему досконально, а статья, подробно описывающая каждый пример, поможет нам сделать изучение движения тела под действием силы тяжести максимально полезным.
Люди с любопытством наблюдали за различными явлениями, происходящими в нашей жизни. Человечество долгое время не могло понять принципы и устройство многих систем, однако длительный путь изучения окружающего мира привел наших предков к научному перевороту. В наши дни, когда технологии развиваются с неимоверной скоростью, люди почти не задумываются о том, каким образом работают те или иные механизмы.
А между тем наши предки всегда интересовались загадками природных процессов и устройством мира, искали ответы на самые сложные вопросы и не переставали изучать, пока не находили на них ответы. Так, например, известный ученый Галилео Галилей еще в 16 веке задался вопросами: "Почему тела всегда падают вниз, какая же сила притягивает их к земле?" В 1589 году он поставил ряд опытов, результаты которых оказались весьма ценными. Он подробно изучал закономерности свободного падения различных тел, сбрасывая предметы со знаменитой башни в городе Пизе. Законы, которые он вывел, были улучшены и более детально описаны формулами еще одним известным английским ученым - сэром Исааком Ньютоном. Именно ему принадлежат три закона, на которых основана практически вся современная физика.
Тот факт, что закономерности движения тел, описанные более 500 лет назад, актуальны и по сей день, означает, что наша планета подчиняется неизменным законам. Современному человеку необходимо хотя бы поверхностно изучить основные принципы обустройства мира.
Для того чтобы полностью понять принципы подобного движения, следует сначала ознакомиться с некоторыми понятиями. Итак, самые необходимые теоретические термины:
Вышеуказанных понятий вполне достаточно для того, чтобы грамотно начертить или представить в голове моделирование движения тела под действием силы тяжести.
Давайте перейдем к основному понятию нашей темы. Итак, сила - это величина, смысл которой заключается в воздействии или влиянии одного тела на другое количественно. А сила тяжести - это та сила, которая действует абсолютно на каждое тело, находящееся на поверхности или вблизи нашей планеты. Возникает вопрос: откуда же берется эта самая сила? Ответ заключается в законе всемирного тяготения.
На любое тело со стороны Земли оказывает влияние гравитационная сила, которая сообщает ему некоторое ускорение. Сила тяжести всегда имеет вертикальное направление вниз, к центру планеты. Иначе говоря, сила тяжести притягивает предметы к Земле, вот почему предметы всегда падают вниз. Получается, что сила тяжести - это частный случай силы всемирного тяготения. Ньютон вывел одну из главных формул для нахождения силы притяжение между двумя телами. Выглядит она таким образом: F = G * (m 1 х m 2) / R 2 .
Тело, которое отпустили с некоторой высоты, всегда летит вниз под действием силы притяжения. Движение тела под действием силы тяжести вертикально вверх и вниз можно описать уравнениями, где основной константой будет являться значение ускорения "g". Эта величина обусловлена исключительно действием силы притяжения, и ее значение приблизительно равно 9,8 м/с 2 . Получается, что тело, брошенное с высоты без начальной скорости, будет двигаться вниз с ускорением равным значению "g".
Основная формула нахождения силы тяжести выглядит следующим образом: F тяжести = m х g, где m - это масса тела, на которое действует сила, а "g" - ускорение свободного падения (для упрощения задач его принято считать равным 10 м/с 2).
Есть еще несколько формул, используемых для нахождения того или иного неизвестного при свободном движении тела. Так, например, для того чтобы вычислить пройденный телом путь, необходимо подставить известные значения в эту формулу: S = V 0 х t + a х t 2 / 2 (путь равен сумме произведений начальной скорости умноженной на время и ускорения на квадрат времени, деленной на 2).
Движение тела под действием силы тяжести по вертикали можно описать уравнением, которое выглядит так: x = x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Используя данное выражение, можно найти координаты тела в известный момент времени. Необходимо просто подставить известные в задаче величины: начальное местоположение, начальную скорость (если тело не просто отпустили, а толкнули с некоторой силой) и ускорение, в нашем случае оно будет равно ускорению g.
Таким же образом можно найти и скорость тела, которое движется под действием силы притяжения. Выражение для нахождения неизвестной величины в любой момент времени: v = v 0 + g х t (значение начальной скорости может быть равным нулю, тогда скорость будет равна произведению ускорения свободного падения на значение времени, за которое тело совершает движение).
При решении многих задач, связанных с силой тяжести, рекомендуем воспользоваться следующим планом:
Когда речь идет о таком явлении, как движение тела под действием того, каким способом практичнее решать поставленную задачу, может быть затруднительным. Однако есть несколько хитростей, используя которые, можно с легкостью решить даже самое сложное задание. Итак, разберем на живых примерах, как следует решать ту или иную задачу. Начнем с легкой для понимания задачи.
Некоторое тело отпустили с высоты 20 м без начальной скорости. Определить, за какое количество времени оно достигнет поверхности земли.
Решение: нам известен путь, пройденный телом, известно, что начальная скорость была равна 0. Также можем определить, что на тело действует только сила тяжести, получается, что это движение тела под действием силы тяжести, и поэтому следует воспользоваться этой формулой: S = V 0 х t + a х t 2 /2. Так как в нашем случае a = g, то после некоторых преобразований получаем следующее уравнение: S = g х t 2 / 2. Теперь осталось только выразить время через эту формулу, получаем, что t 2 = 2S / g. Подставим известные величины (при этом считаем, что g = 10 м/с 2) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Следовательно, t = 2 с.
Итак, наш ответ: тело упадет на землю за 2 секунды.
Трюк, позволяющий быстро решить задачу, состоит в следующем: можно заметить, что описанное движение тела в приведенной задаче происходит в одном направлении (вертикально вниз). Оно весьма схоже с равноускоренным движением, так как на тело не действует никакая сила, кроме силы тяжести (силой сопротивления воздуха пренебрегаем). Благодаря этому можно воспользоваться легкой формулой для нахождения пути при равноускоренном движении, минуя изображения чертежей с расстановкой действующих на тело сил.
А теперь давайте посмотрим, как лучше решать задачи на движение тела под действием силы тяжести, если тело движется не вертикально, а имеет более сложный характер перемещения.
Например, следующая задача. Некоторый предмет массой m движется с неизвестным ускорением вниз по наклонной плоскости, коэффициент трения которой равен k. Определить значение ускорения, которое имеется при движении данного тела, если угол наклона α известен.
Решение: Следует воспользоваться планом, который описан выше. В первую очередь начертить рисунок наклонной плоскости с изображением тела и всех действующих на него сил. Получится, что на него действуют три составляющие: сила тяжести, трения и сила реакции опоры. Выглядит общее уравнение равнодействующих сил так: F трения + N + mg = ma.
Главной изюминкой задачи является условие наклонности под углом α. При ox и ось oy необходимо учесть данное условие, тогда у нас получится следующее выражение: mg х sin α - F трения = ma (для оси ох) и N - mg х cos α = F трения (для оси oy).
F трения легко вычислить по формуле нахождения силы трения, она равна k х mg (коэффициент трения, умноженный на произведение массы тела и ускорения свободного падения). После всех вычислений остается только подставить найденные значения в формулу, получится упрощенное уравнение для вычисления ускорения, с которым движется тело вдоль наклонной плоскости.
Гравитация, она же притяжение или тяготение, - это универсальное свойство материи, которым обладают все предметы и тела во Вселенной. Суть гравитации залучается в том, что все материальные тела притягивают к себе все другие тела, находящиеся вокруг.
Если гравитация - это общее понятие и качество, которым обладают все предметы во Вселенной, то земное притяжение - это частный случай этого всеобъемлющего явления. Земля притягивает к себе все материальные объекты, находящиеся на ней. Благодаря этому люди и животные могут спокойно перемещаться по земле, реки, моря и океаны - оставаться в пределах своих берегов, а воздух - не летать по бескрайним просторам Космоса, а образовывать атмосферу нашей планеты.
Возникает справедливый вопрос: если все предметы обладают гравитацией, почему Земля притягивает к себе людей и животных, а не наоборот? Во-первых, мы тоже притягиваем к себе Землю, просто, по сравнению с ее силой притяжения наша гравитация ничтожно мала. Во-вторых, сила гравитации прямо пропорционально зависит от массы тела: чем меньше масса тела, тем ниже его гравитационные силы.
Второй показатель, от которого зависит сила притяжения - это расстояние между предметами: чем больше расстояние, тем меньше действие гравитации. В том числе благодаря этому, планеты движутся на своих орбитах, а не падают друг на друга.
Примечательно, что своей сферической формой Земля, Луна, Солнце и другие планеты обязаны именно силе тяготения. Она действует в направлении центра, подтягивая к нему вещество, составляющее «тело» планеты.
Гравитационное поле Земли - это силовое энергетическое поле, которое образуется вокруг нашей планеты благодаря действию двух сил:
Поскольку и гравитация, и центробежная сила действуют постоянно, то и гравитационное поле является постоянным явлением.
Незначительное воздействие на поле оказывают силы тяготения Солнца, Луны и некоторых других небесных тел, а также атмосферных масс Земли.
Английский физик, сэр Исаак Ньютон, согласно известной легенде, однажды гуляя по саду днем, увидел на небе Луну. В это же время с ветки упало яблоко. Ньютон тогда занимался изучением закона движения и знал, что яблоко падает под воздействием гравитационного поля, а Луна вращается по орбите вокруг Земли.
И тут в голову гениальному ученому, озаренную инсайтом, пришла мысль, что, возможно, яблоко падает на землю, подчиняясь той же силе, благодаря которой Луна находится на своей орбите, а не носится беспорядочно по всей галактике. Так был открыт закон всемирного тяготения, он же Третий закон Ньютона.
На языке математических формул этот закон выглядит так:
F = GMm/D 2 ,
где F - сила взаимного тяготения между двумя телами;
M - масса первого тела;
m - масса второго тела;
D 2 - расстояние между двумя телами;
G - гравитационная постоянная, равная 6,67х10 -11 .
