Признак делимости на 5 продолжает серию статей о признаках делимости . Здесь приведена формулировка признака делимости на 5, показано его доказательство и разобраны примеры, в которых устанавливается делимость на 5 заданных целых чисел с помощью указанного признака.
Навигация по странице.
Начнем с формулировки признака делимости на 5 : если в записи целого числа справа находится цифра 0 или 5 , то такое число делится на 5 , если же справа в записи числа стоит другая цифра, то такое число не делится на 5 .
Озвученный признак делимости позволяет очень легко устанавливать способность данного числа делиться на 5 . Следует отметить, что использование признака делимости на 5 приводит к результату быстрее, чем непосредственное деление.
Число 0 делится на 5 , так как нуль делится на любое целое число (смотрите свойства делимости). Из на 5 делится лишь число 5 , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 и 9 не делятся на 5 без остатка.
Рассмотрим примеры применения признака делимости на 5 .
Пример.
Какие из чисел 74 , −900 , 10 000 , −799 431 , 355 , −5 делятся на 5 ?
Решение.
Записи чисел 74 и −799 431 оканчиваются цифрами 4 и 1 , поэтому признак делимости на 5 позволяет утверждать, что эти числа не делятся на 5 нацело. А записи чисел −900 , 10 000 , 355 и −5 оканчиваются цифрами 0 и 5 , поэтому эти числа делятся на 5 .
Ответ:
−900 , 10 000 , 355 и −5 делятся на 5 .
Переформулируем признак делимости на 5 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 5 , и докажем его.
Теорема.
Для делимости целого числа a на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись числа a оканчивалась цифрой 0 или 5 .
Доказательство.
Сначала докажем вспомогательное утверждение: произведение a 1 ·10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .
Число 10 делится на 5 , так как 10=5·2 , тогда произведение a 1 ·10 тоже делится на 5 в силу следующего свойства делимости: если целое число a делится на целое число b , то произведение m·a , где m – любое целое число, делится на b .
Теперь переходим к доказательству теоремы.
Позволяет любое целое число a , запись которого оканчивается нулем, представить в виде a=a 1 ·10 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа убрать цифру 0 . Если же в записи числа a справа находится произвольная цифра a 0 (a 0 – это 0 или 1 , или 2 , …, или 9 ), то a можно представить в виде a=a 1 ·10+a 0 . Для пояснения приведем пример такого представления: 54 327= 5 432·10+7 .
Дальнейшее доказательство основано на следующем свойстве делимости: если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .
В равенстве a=a 1 ·10+a 0 произведение a 1 ·10 делится на 5 (что мы показали в начале теоремы). Если a 0 делится на 5 (что возможно, если a 0 =0 или a 0 =5 ), то по указанному свойству делимости на 5 делится и число a . Этим доказана достаточность. С другой стороны, если a делится на 5 , то по указанному свойству делимости и a 0 делится на 5 . Так доказана необходимость.
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых требуется выяснить, делится ли значение некоторого выражения на 5 . Начнем с примера, в котором получить решение позволяет признак делимости на 5 .
Пример.
Делится ли на 5 значение выражения 10 2·n −5 при некотором натуральном n ?
Решение.
При n=1 имеем 10 2·1 −5=95 , при n=2 – 10 2·2 −5=9 995 , при n=3 – 10 2·3 −5=999 995 , … Очевидно, что при любом натуральном n значение выражения 10 2·n −5 представляет собой число, запись которого оканчивается цифрой 5 . Таким образом, в силу признака делимости на 5 можно говорить о делимости 10 2·n −5 на 5 при любом натуральном n .
Ответ:
Да.
Более строгое доказательство делимости на 5 позволяет проводить . Докажем с его помощью, что при любом натуральном n значение выражения делится на 5 .
Пример.
Докажите, что делится на 5 при любом натуральном n .
Решение.
Выполним все шаги метода математической индукции.
Проверим, что при n=1
значение выражения делится на 5
. Имеем 
, а 30
делится на 5
, так как 30=5·6
.
Предположим, что при n=k
значение выражения делится на 5
, то есть, будем считать, что 
делится на 5
.
Докажем, что при n=k+1 делится на 5 .
Имеем
Мы пришли к разности, в которой выражение 
делится на 5
, так как на предыдущем шаге мы предположили, что делится на 5
, и выражение тоже делится на 5
, так как содержит множитель 5
. Следовательно, вся разность делится на 5
в силу свойств делимости.
Так методом математической индукции доказано, что делится на 5 при любом натуральном n .
Этот же пример можно было решить, воспользовавшись . Бином Ньютона позволяет представлять подобные выражения в виде произведения, и если при этом хотя бы один из множителей будет делиться на 5 , то и все произведение будет делиться на 5 в силу соответствующего свойства делимости.
Пример.
Делится ли на 5 при натуральных n ?
Решение.
Представим 6
как 5+1
и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение делится на 5 при любом натуральном n , так как содержит множитель 5 , а значение выражения в скобках представляет собой натуральное число. n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
Первый множитель n при n=5·m делится на 5 , следовательно, и все произведение делится на 5 .
При n=5·m+1 множитель n−1=5·m делится на 5 , откуда следует делимость на 5 всего произведения n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
При
При n=5·m+2 множитель n 2 +1 равен соответственно 25·m 2 +20·m+5=5·(5·m 2 +4·m+1) . Очевидно, он делится на 5 , следовательно, на 5 делится и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
Наконец, при n=5·m+4 множитель n+1 равен 5·m+5 делится на 5 , поэтому, и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 .
Таким образом, n 5 −n=n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 при любом целом n .
Список литературы.
Задача. Площадь прямоугольника равна 2,88 дм 2 , а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?
Решение. Так как 2,88 дм 2 = 288 см 2 , а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288: 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6, что 3,6 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.
Пишут: 2,88: 0,8 3,6.
Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим:
Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.
Так как 1209,6: 224 = 5,4, то и 12,096: 2,24 = 5,4.
Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125.
Так как 4500: 125 = 36, то и 4,5: 0,125 = 36.
Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: 12.096 > 5,4, а 4,5 < 36.
Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7: 1, то есть 246,7.
Значит, и 2,467: 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).
Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.
Например, 56,87: 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568700.
1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:
1444. Найдите частное и выполните проверку делением:
1445. Выполните деление:
1446. Запишите выражения:
1447. Прочитайте выражение:
1448. Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов надо ему сделать, чтобы пройти расстояние 100 м?
1449. Алёша проехал на поезде 162,5 км за 2,6 ч. С какой скоростью шёл поезд?
1450. Найдите массу 1 см 3 льда, если масса 3,5 см 3 льда равна 3,08 г.
1451. Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,25 м, а длина другой части в 1,3 раза меньше первой. Какова была длина верёвки?
1452. В первый пакет вошло 6,72 кг муки, что в 2,4 раза больше, чем во второй пакет. Сколько килограммов муки вошло в оба пакета?
1453. На приготовление уроков Боря затратил в 3,5 раза меньше времени, чем на прогулку. Сколько времени ушло у Бори на прогулку и на приготовление уроков, если прогулка заняла 2,8 ч?
1454. За 2,4 ч мальчик прошёл 7,2 км. Сколько километров он пройдёт с той же скоростью за 1,6 ч? Придумайте задачи с теми же числами в условии и в ответе:
1455. Алюминиевый шар, объём которого 50 см 3 , имеет массу 135 г. Чему равна масса стального шара того же объёма, если масса 1 см 3 алюминия на 5,2 г меньше массы 1 см 3 стали?
1456. Питательный раствор для подкормки растений поступает в теплицу по двум трубам. Первая была открыта 0,6 ч, а вторая 0,4 ч. В результате поступило 3,32 л раствора. Сколько питательного раствора подаётся за 1 ч по второй трубе, если по первой поступает 3,6 л раствора за 1 ч?
1457. Выполните деление:
1458. На сколько килограммов масса 1 м 3 пробки меньше массы 1 м 3 воды, если масса 1 см 3 воды равна 1 г, а масса 1 см 3 пробки равна 0,22 г?
1459. Решите уравнение:
1460. В двух цистернах было 119,88 т бензина. В первой цистерне бензина было больше, чем во второй, в 1,7 раза. Сколько бензина было в каждой цистерне?
1461. С трёх участков собрали 87,36 т капусты. При этом с первого участка собрали в 1,4 раза больше, а со второго в 1,8 раза больше, чем с третьего участка. Сколько тонн капусты собрали с каждого участка?
1462. Кенгуру ниже жирафа в 2,4 раза, а жираф выше кенгуру на 2,52 м. Какова высота жирафа и какова высота кенгуру?
1463. Два пешехода находились на расстоянии 4,6 км друг от друга. Они пошли навстречу друг другу и встретились через 0,8 ч. Найдите скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,3 раза больше скорости другого.
1464. Выполните действия:
1465. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и найдите значение выражения:
1466. Вычислите устно:
1467. Найдите произведение:
1468. Найдите: 0,4 числа 30; 0,5 числа 18; 0,1 числа 6,5; 2,5 числа 40; 0,12 числа 100; 0,01 числа 1000.
1469. Каково значение выражения 5683,25а при а = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001?
1470. Подумайте, какие из чисел могут быть точными, какие - приближёнными:
1471. Найдите три решения неравенства:
1472. Сравните, не вычисляя, значения выражений:
Объясните полученный ответ.
1473. Округлите числа:
1474. Выполните деление:
1475. Велосипедист выехал из села со скоростью 12 км/ч. Через 2 ч в противоположном направлении из того же села выехал другой велосипедист, причём скорость второго в 1,25 раза больше скорости первого. Какое расстояние будет между ними через 3,3 ч после выезда второго велосипедиста?
1476. Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения 1,3 км/ч. Какое расстояние пройдёт лодка по течению за 3,5 ч? Какое расстояние пройдёт лодка против течения за 5,6 ч?
1477. Завод изготовил 3,75 тыс. деталей и продал их по цене 950 р. за штуку. Расходы завода на изготовление одной детали составили 637,5 р. Найдите прибыль, полученную заводом от продажи этих деталей.
1478. Ширина прямоугольного параллелепипеда 7,2 см, что составляет длины и высоты. Найдите объём этого параллелепипеда и округлите ответ до целых.
1479. Папа Карло пообещал каждый день давать Пьеро по 4 сольдо, а Буратино в первый день 1 сольдо, а в каждый следующий день на 1 сольдо больше, если он будет вести себя хорошо. Буратино обиделся: он решил, что, как бы ни старался, никогда не сможет получить в сумме столько же сольдо, сколько Пьеро. Подумайте, прав ли Буратино.
1480. На 3 шкафа и 9 книжных полок пошло 231 м досок, причём на шкаф идёт в 4 раза больше материала, чем на полку. Сколько метров досок идёт на шкаф и сколько - на полку?
1481. Решите задачу:
1482. Найдите значение выражения:
1483. Найдите значение частного:
1484. Путь от дома до школы равен 1,1 км. Девочка проходит этот путь за 0,25 ч. С какой скоростью идёт девочка?
1485. В двухкомнатной квартире площадь одной комнаты 20,64 м 2 , а площадь другой комнаты в 2,4 раза меньше. Найдите площадь этих двух комнат вместе.
1486. Двигатель за 7,5 ч расходует 111 л горючего. Сколько литров горючего израсходует двигатель за 1,8 ч?
1487. Металлическая деталь объёмом в 3,5 дм 3 имеет массу 27,3 кг. Другая деталь из этого же металла имеет массу 10,92 кг. Каков объём второй детали?
1488. В цистерну через две трубы налили 2,28 т бензина. Через первую трубу поступало 3,6 т бензина в час, и она была открыта 0,4 ч. Через вторую трубу поступало за час на 0,8 т бензина меньше, чем через первую. Сколько времени была открыта вторая труба?
1489. Решите уравнение:
1490. Товар массой в 13,3 т распределили на три автомашины. На первую автомашину погрузили в 1,3 раза больше, а на вторую - в 1,5 раза больше, чем на третью автомашину. Сколько тонн товара погрузили на каждую автомашину?
1491. Два пешехода вышли одновременно из одного места в противоположных направлениях. Через 0,8 ч расстояние между ними стало равным 6,8 км. Скорость одного пешехода была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите скорость каждого пешехода.
1492. Выполните действия:
1493. В школу пришёл врач и принёс для прививки 0,25 кг сыворотки. Скольким ребятам он может сделать уколы, если для каждого укола нужно 0,002 кг сыворотки?
1494. В магазин завезли 2,8 т пряников. До обеда было продано этих пряников. Сколько тонн пряников осталось ещё продать?
1495. От куска ткани отрезали 5,6 м. Сколько метров ткани было в куске, если отрезали этого куска?
Как делить десятичные дроби на натуральные числа? Рассмотрим правило и его применение на примерах.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) разделить десятичную дробь на число, не обращая внимания на запятую;
2) когда закончится деление целой части, в частном поставить запятую.
Примеры.
Разделить десятичные дроби:
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, делим, не обращая внимания на запятую. 5 на 6 не делится, поэтому в частном ставим нуль. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. Сносим нуль. 50 делим на 6. Берем по 8. 6∙8=48. От 50 вычитаем 48, в остатке получаем 2. Сносим 4. 24 делим на 6. Получаем 4. В остатке — нуль, значит, деление окончено: 5,04: 6 = 0,84.
2) 19,26: 18
Делим десятичную дробь на натуральное число, не обращая внимания на запятую. Делим 19 на 18. Берем по 1. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. Вычитаем от 19 18. В остатке — 1. Сносим 2. 12 на 18 не делится, в частном пишем нуль. Сносим 6. 126 делим на 18, получаем 7. Деление окончено: 19,26: 18 = 1,07.
Делим 86 на 25. Берем по 3. 25∙3=75. От 86 вычитаем 75. В остатке — 11. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. Сносим 5. Берем по 4. 25∙4=100. От 115 вычитаем 100. Остаток — 15. Сносим нуль. 150 делим на 25. Получаем 6. Деление окончено: 86,5: 25 = 3,46.
4) 0,1547: 17
Нуль на 17 не делится, в частном пишем нуль. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. Сносим 1. 1 на 17 не делится, в частном пишем нуль. Сносим 5. 15 на 17 не делится, в частном пишем нуль. Сносим 4. Делим 154 на 17. Берем по 9. 17∙9=153. От 154 вычитаем 153. В остатке — 1. Сносим 7. Делим 17 на 17. Получаем 1. Деление окончено: 0,1547: 17 = 0,0091.
5) Десятичная дробь может получиться и при делении двух натуральных чисел.
При делении 17 на 4 берем по 4. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. 4∙4=16. От 17 вычитаем 16. Остаток — 1. Сносим нуль. 10 делим на 4. Берем по 2. 4∙2=8. От 10 вычитаем 8. В остатке — 2. Сносим нуль. 20 делим на 4. Берем по 5. Деление окончено: 17: 4 = 4,25.
И еще пара примеров на деление десятичных дробей на натуральные числа:
